Son olarak da teorik yakınsama oranlarını doğrulamak için önerilen algoritmanın etkinliğini gösteren sayısal testler sunulmuştur.
📌 3 Key Takeaways
🎯
Objective & Hypothesis:Bu çalışmada, sık kullanılan bir türbülans modeli olan Leray-𝛼 modeli için grad-div kararlılaştırması incelenmiştir.
📊
Key Findings & Data:Oluşturulan şema, sıkıştırılamaz zamana bağlı NSD’nin doğrusallaştırılmış ikinci mertebeden geri doğru fark (BDF2) formülüne dayalıdır ve uzayda sonlu eleman ile ayrıklaştırılmış bir Navier-Stokes sistemi üzerinde uygulanmaktadır.
💡
Conclusion & Impact:Son olarak da teorik yakınsama oranlarını doğrulamak için önerilen algoritmanın etkinliğini gösteren sayısal testler sunulmuştur.
🔬Design:Modeling & Simulation
📍Scope:Comprehensive Sample
⚙️Variables:Navier-Stokes denklemleri · Leray-𝛼 türbülans modeli · Sonlu elemanlar yöntemi
Özet
Bu çalışmada, sık kullanılan bir türbülans modeli olan Leray-𝛼 modeli için grad-div kararlılaştırması incelenmiştir. Oluşturulan şema, sıkıştırılamaz zamana bağlı NSD’nin doğrusallaştırılmış ikinci mertebeden geri doğru fark (BDF2) formülüne dayalıdır ve uzayda sonlu eleman ile ayrıklaştırılmış bir Navier-Stokes sistemi üzerinde uygulanmaktadır. Ayrıca oluşturulan şemaya, kütle korunumunu iyileştirdiği ve basıncın hız hatası üzerindeki etkisini azalttığı için 𝛾 parametreli bir grad-div stabilizasyon terimi dâhil edilmiştir. Çalışmada, BDF2 zaman ayrıklaştırması ile elde edilen tamamen ayrık yaklaşımın çözümünün kararlı ve yakınsak olduğu gösterilmiştir. Son olarak da teorik yakınsama oranlarını doğrulamak için önerilen algoritmanın etkinliğini gösteren sayısal testler sunulmuştur.
DOĞRU, P., ÇIBIK, A. B. (2021). Grad-Div Kararlılaştırılmış BDF-2 Zaman Adımlı Leray-𝜶 Modelinin Sayısal Analizi. Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi Dergisi, Cilt: 2 - Sayı: 2, 1–13. https://ajindex.com/articles/852123
Foias, C., Manley, O., Rosa, R., Temam, R., & Meng, J. (2002). Navier-Stokes Equations and Turbulence. Encyclopedia of Math and its Applications, Vol
Applied Mechanics Reviews, 55(3), B57
Leray, J. (1934). Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace. Acta Mathematica, 63(1), 193-248
Cheskidov, A., Holm, D. D., Olson, E., & Titi, E. S. (2005). On a Leray–α model of turbulence. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 461(2055), 629-649
Hill, R. (2010). Benchmark Testing the α-models of Turbulence. A project presented to the Graduate School of Clemson University
Bowers, A. L., & Rebholz, L. G. (2013). Numerical study of a regularization model for incompressible flow with deconvolution-based adaptive nonlinear filtering. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 258, 1-12
Busa, A. (2014). The Leray-α model of turbulence. Tech. report, MS Thesis, Free University of Berlin
Akbaş, M., & Bowers, A. (2021). Improving accuracy in the Leray model for incompressible nonisothermal flows via adaptive deconvolution‐based nonlinear filtering. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 44(8), 6679-6699
Layton W. (2008). Introduction to the Numerical Analysis of Incompressible Viscous Flows. SIAM
Brenner S, Scott LR. (1994). The Mathematical Theory of Finite Element Methods: Springer-Verlag
Zhang S. (2005). A new family of stable mixed finite elements for the 3d Stokes equations. Math Comp., 74(250):543-554
Heywood, J. Rannacher, R. (1990). Finite element approximation of the nonstationary Navier-Stokes problem. Part IV: Error analysis for the second-order time discretization. SIAM J. Numer. Anal., 27(2):353-384
Layton, W., Manica, C. C., Neda, M., & Rebholz, L. G. (2008). Numerical analysis and computational testing of a high accuracy Leray‐deconvolution model of turbulence. Numerical Methods for Partial Differential Equations: An International Journal, 24(2), 555-582
Hecht, F. (2012). New development in FreeFem++. Journal of Numerical Mathematics, 20(3-4), 251-266.