AI Summary & Key Takeaways
AI InsightThus, the rate at which distributions approach normality and the conditions under which the CLT can be reliably applied were evaluated more comprehensively.
📌 3 Key Takeaways
Abstract
The Central Limit Theorem (CLT) is one of the cornerstones of statistics and probability theory. In this study, the practical validity of the CLT was examined through simulations conducted on different continuous distributions such as Beta, Exponential, Gamma, Log-Normal, and Weibull. While the literature generally addresses the convergence of the sample mean to normality in broad terms, in this study, the rate of convergence and the effect of sample size were analyzed using different metrics, including variance, skewness coefficient, maximum approximate error (MaxError), and the Berry bound based on the Berry-Esseen theorem. The simulation results provide a detailed perspective on the reliability and limitations of the CLT. The history of the CLT dates back to early theoretical studies and, over time, it has been recognized as a tool that allows the distribution of sample means to approach the normal curve even when the underlying population is not normal. This property has made the CLT a fundamental concept in various fields, including political science, computer science, psychology, medical research, and engineering. Despite its widespread use, the practical outcomes of the CLT are often not sufficiently understood in terms of the effects of factors such as sample size and skewness on convergence. In this study, simulation methods were applied to different continuous distributions. Consequently, in addition to classical measures of mean and variance, additional criteria were considered. Thus, the rate at which distributions approach normality and the conditions under which the CLT can be reliably applied were evaluated more comprehensively.
Özet
Merkezi Limit Teoremi (MLT), istatistik ve olasılık teorisinin temel taşlarından biridir. Bu çalışmada, MLT’nin pratik geçerliliği; Beta, Üstel, Gamma, Log-Normal ve Weibull gibi farklı sürekli dağılımlar üzerinde gerçekleştirilen simülasyonlar aracılığıyla incelenmiştir. Literatürde genellikle örneklem ortalamasının normalliğe yakınsaması genel çerçevede ele alınırken, bu çalışmada yakınsama hızı ve örneklem büyüklüğünün etkisi; varyans, çarpıklık katsayısı, maksimum yaklaşık hata (MaxError) ve Berry–Esseen teoremine dayalı Berry sınırı gibi farklı ölçütler kullanılarak analiz edilmiştir. Simülasyon sonuçları, MLT’nin güvenilirliği ve sınırlılıkları hakkında ayrıntılı bir bakış açısı sunmaktadır. MLT’nin tarihi erken dönem kuramsal çalışmalara dayanmakta olup, zamanla anakütle dağılımı normal olmasa bile örneklem ortalamalarının dağılımının normal eğriye yaklaştığını gösteren güçlü bir araç olarak kabul edilmiştir. Bu özelliği sayesinde MLT; siyaset bilimi, bilgisayar bilimi, psikoloji, tıp araştırmaları ve mühendislik gibi pek çok alanda temel bir kavram haline gelmiştir. Bununla birlikte, MLT’nin yaygın kullanımına rağmen, örneklem büyüklüğü ve çarpıklık gibi faktörlerin yakınsama üzerindeki etkileri uygulamada çoğu zaman yeterince anlaşılmamaktadır. Bu çalışmada farklı sürekli dağılımlar üzerinde simülasyon yöntemleri uygulanmıştır. Böylece klasik ortalama ve varyans ölçütlerine ek olarak ilave kriterler de dikkate alınmıştır. Sonuç olarak, dağılımların normalliğe hangi hızda yaklaştığı ve MLT’nin hangi koşullar altında güvenle uygulanabileceği daha kapsamlı bir şekilde değerlendirilmiştir.