WEAKLY ESSENTIAL G-SUPPLEMENTED MODULES

Abstract

In this work weakly essential g-supplemented modules are definedand some properties of these modules are investigated. All modules areassociative with unity and all modules are unital left modules. Let N bean R-module. If every essential submodule of N has a weak g-supplementin M, then M is called a weakly essential g-supplemented (or briefly wegsupplemented) module. Clearly we can see that every weakly gsupplemented module is weakly essential g-supplemented.Every weakly essential supplemented module is also weaklyessential g-supplemented. Because of this weakly essential gsupplemented modules are more generalized than weakly essentialsupplemented modules. Every (generalized) hollow and every localmodule are weakly essential g-supplemented. Let N be a weakly essentialg-supplemented R-module. If every nonzero submodule of N is essentialin N, then N is weakly g-supplemented. It is showed that every factormodule and every homomorphic image of a weakly essential gsupplemented module are weakly essential g-supplemented. It is alsoproved that the finite sum of weakly essential g-supplemented modulesis weakly essential g-supplemented. Let N be a weakly essential gsupplemented R-module. Then N/RadgN have no proper essentialsubmodules. Let N be a weakly essential g-supplemented R-module. Thenevery finitely N-generated R-module is weakly essential g-supplemented.Let R be any ring. Then RR is weakly essential g-supplemented if and onlyif every finitely generated R-module is weakly essential g-supplemented.Let N be an R-module. If every essential submodule of N is g* equivalentto an weak g-supplement submodule in N, then N is weakly essential gsupplemented.

Özet

Bu çalışmada zayıf büyük g-tümlenmiş modüller tanımlandı ve bu modüllerle ilgili birtakım özellikler incelendi. Bu çalışmada ayrıca bütün halkalar birimli ve bütün modüller de üniter sol modüllerdir. N bir Rmodül olsun. Eğer N modülünün her büyük alt modülünün N içinde bir zayıf g-tümleyeni varsa N modülüne bir zayıf büyük g-tümlenmiş (veya kısaca weg-tümlenmiş) modül denir. Açıkça biz görebiliriz ki her zayıf gtümlenmiş modül zayıf büyük g-tümlenmiştir. Her zayıf büyük tümlenmiş modül de zayıf büyük g-tümlenmiştir. Bundan dolayı zayıf büyük g-tümlenmiş modüller zayıf büyük tümlenmiş modüllerden daha genel yapıdadırlar. Her (genelleştirilmiş) oyuk ve her lokal modül zayıf büyük g-tümlenmiştir. N bir zayıf büyük g-tümlenmiş R-modül olsun. Eğer N modülünün sıfırdan farklı her alt modülü N modülünde büyükse N modülü zayıf g-tümlenmiştir. Bir zayıf büyük g-tümlenmiş modülün her bölüm modülü ve her homomorfik görüntüsünün de zayıf büyük gtümlenmiş olduğu gösterildi. Ayrıca zayıf büyük g-tümlenmiş modüllerin sonlu toplamının da zayıf büyük g-tümlenmiş olduğu gösterildi. N bir zayıf büyük g-tümlenmiş modül olsun. Bu durumda N/RadgN modülü hiçbir büyük alt modüle sahip değildir. N bir zayıf büyük g-tümlenmiş Rmodül olsun. Bu durumda her sonlu N-üretilmiş R-modül zayıf büyük gtümlenmiştir. R bir halka olsun. Bu durumda RR modülünün zayıf büyük g-tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul her sonlu üretilmiş Rmodülün zayıf büyük g-tümlenmiş olmasıdır. N bir R-modül olsun. Eğer N modülünün her büyük alt modülü g * bağıntısı ile N’de bir zayıf gtümleyen alt modüle denkse N modülü zayıf büyük g-tümlenmiştir.