Birlikte kompakt operatör ailelerinin değişmez altuzayları üzerine

Özet

Bir X Banach uzayı üzerinde tanımlı sınırlı doğrusal T:X →X operatörünün aşikar olmayan (yani {0} ve X ten farklı) kapalı (hiper)değişmez altuzaya sahip olup olmaması, ‘değişmez altuzay problemi’ olarak bilinir. Burada X in bir Y altuzayının T operatörü altında değişmez kalması $T(Y)subseteq Y$ , hiperdeğişmez kalması ise T ile değişmeli her operatör altında değişmez kalmasıdır. Tek bir T operatörü yerine bu operatörlerin bir M ailesi göz önüne alındığında, Y nin M altında (hiper)değişmez kalması, M ailesine ait her operatör altında (hiper)değişmez olmasıdır. $U_x$ , X in kapalı birim yuvarını göstermek üzere, $M(U_x) = {Tx: xepsilon U_x}$ kümesi önkompakt ise M ailesine birlikte kompakt denir. Bu çalışmada doğrusal operatörlerin birlikte kompakt ailelerinin (hiper)değişmez altuzayları araştırılmaktadır. Kompakt operatörlerin önkompakt ailesi birlikte kompaktır ancak bunun tersi her zaman doğru değildir. Kompakt operatörlerin önkompakt aileleri için bilinen bazı değişmez altuzay sonuçları, birlikte kompakt operatör ailelerine genişletilmektedir. Bunu yaparken, ρ(M) Rota-Strang spektral yarıçapı, r(M) Berger-Wang spektral yarıçapı ve X deki sıfırdan farklı bir x elemanı için ρ(M,x) yerel spektral yarıçapı kullanılmaktadır. Ayrıca $algGamma$ daki birlikte kompakt M ailesinin, ρ(M)=r(M) Berger-Wang formülünü sağladığı gösterilmektedir; burada $Gamma$ , X in altuzaylarının tam zincirini ve $algGamma$, $Gamma$ daki tüm altuzayları değişmez bırakan operatörlerin kümesini göstermektedir.

Abstract

Given a Banach space X and a bounded linear operator T:X →X , X may or may not have a closed subspace Y , other than {0} and X , which is left invariant under T , that is, $T(Y)subset Y$ . This work is concerned with this problem which is commonly known as the invariant subspace problem. However, instead of taking a single operator T , we consider a family M of linear bounded operators on infinite dimensional Banach spaces which are tied together with a strong compactness condition, known as collective compactness and we look for a common invariant subspace of elements of M . A family M of operators is called collectively compact if the closure of the closed unit ball $U_x$ of X is compact under the action of M . That is, $overline {{bigcup atop T in M} T(U_x)}$ is compact in X . Using well-known techniques, we generalize invariant subspace results which are proven for precompact families of compact operators to collectively compact families of operators. In doing so, we use joint spectral radius ρ(M), Berger-Wang spectral radius r(M) of M and the local joint spectral radius ρ(M,x) for a non-zero x in X . A common technique to show that a multiplicative semigroup SG(M) generated by M has a common invariant subspace is to show that SG(M) has a non-zero semigroup ideal which has a non-trivial closed invariant subspace. Employing this technique and introducing a semigroup ideal lim(M) in the multiplicative semigroup SG(M), we show that if M is collectively compact and r(M)