Similar Characteristics of Similar Series

Abstract

One of the most important subjects of mathematics is sequences; and one of the most striking series is Fibonacci series. The purpose of this study is to create series similar to Fibonacci series and to investigate whether these series have characteristics similar to those of Fibonacci series; and to prove these characteristics, if any. As is known, in Fibonacci, each term is equal to the sum of the two preceding terms. In this study, the series formed by one of two terms or both terms before each term are multiplied by natural numbers greater than 1 and then summed, were discussed. As a result, three different series families were formed. In the first family, the series were taken in which each term was equal to the sum of k-fold of (k=2,3,…) the previous term and the two previous terms. In the second family, series were taken in which each term was equal to the sum of the previous term and the k-fold of (k=2,3,…) the two previous terms. In the third family, series were taken in which each term was equal to the sum of k-fold of (k=2,3,…) the previous term and k-fold of (k=2,3,…) the two previous terms. It is seen that some of these series have been studied in the literature. In this study, unlike other studies, seven characteristics which are valid in Fibonacci series were taken as basis and then similar characteristics were searched in the generated series. 6 series were studied by taking 2 from each family. As a result of the studies, it was observed that these series bear similar characteristics to those of Fibonacci series. 42 characteristics were obtained on these series and were proved. In addition, it was observed that there were similarities in terms of formation as well as similarities between the obtained characteristics that would enable generalization.

Özet

Matematiğin en önemli konularından biri diziler; dizilerin en dikkat çekenlerinden biri de Fibonacci dizisidir. Bu çalışmanın amacı, Fibonacci dizisine benzer diziler oluşturup bu dizilerin Fibonacci dizisinin özelliklerine benzer özellikleri olup olmadığını araştırmak ve varsa bu özellikleri ispatlamaktır. Bilindiği gibi Fibonacci dizisinde her bir terim, kendisinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Bu çalışmada ise, her bir terimin kendinden önceki iki terimden birinin veya her ikisinin 1’den büyük doğal sayılarla çarpılıp sonrasında toplanmasıyla oluşan diziler ele alınmıştır. Böylece üç farklı dizi ailesi oluşturulmuştur. Birinci ailede, her bir terimin kendisinden önceki terimin k katı (k=2,3,…) ile ondan önceki terimin toplamına eşit olduğu diziler alındı. İkinci ailede, her bir terimin kendisinden önceki terim ile ondan önceki terimin k katının (k=2,3,…) toplamına eşit olduğu diziler alındı. Üçüncü ailede ise her bir terimin kendisinden önceki terimin k katı (k=2,3,…) ile ondan önceki terimin k katının (k=2,3,…) toplamına eşit olduğu diziler alındı. Literatürde bu dizilerden bazılarıyla ilgili çalışıldığı görülmektedir. Bu çalışmada diğer çalışmalardan farklı olarak, Fibonacci dizisinde geçerli olan 7 özellik temele alındı ve bu özelliklerin benzerleri oluşturulan dizilerde arandı. Her bir dizi ailesinden 2’şer tane olmak üzere 6 dizi üzerinde çalışıldı. Çalışmalar sonunda bu dizilerin de Fibonacci dizisindekilere benzer özellikleri sağladığı görülmüştür. Diziler üzerinde 42 özellik elde edilmiş ve bu özellikler ispatlanmıştır. Ayrıca dizilerin oluşum açısından benzerliği olduğu gibi elde edilen özellikler arasında da genellemeye imkân verecek benzerlikler olduğu görülmüştür.