An Inequality on M-Matrices

Abstract

Let 𝐴𝐴0 be a nonsingular symmetric M-matrix. For a sufficiently large t, 𝐴𝐴𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐴𝐴0 is anew nonsingular symmetric M-matrix and the following inequalities hold for the sum of the principal minors ofnew matrix 𝐴𝐴𝑡𝑡:�|𝐴𝐴(1)| < �|𝐴𝐴(1,2)|𝐶𝐶𝑛𝑛2 𝐶𝐶𝑛𝑛1< ⋯ < �|𝐴𝐴(1,2, … , 𝑛𝑛)|. Definition 1: Let 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖� be a realvalued matrix for 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑚𝑚 and𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛. If 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0 then matrix A issaid to be a non-negative matrix(Gantmacher, 1956).Definition 2: Let 𝐵𝐵 = �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖� be a nonnegative an n dimensional square matrix andI be a n dimensional unit matrix.

Özet

𝐴𝐴0 tekil olmayan simetrik bir M- matrisi olsun. Yeteri kadar büyük bir t değeri için 𝐴𝐴𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐴𝐴0şeklinde oluşturulan M- matrisinin esas minörlerinin toplamları arasında�|𝐴𝐴(1)| < �|𝐴𝐴(1,2)|𝐶𝐶𝑛𝑛2 𝐶𝐶𝑛𝑛1< ⋯ < �|𝐴𝐴(1,2, … , 𝑛𝑛)|.𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛eşitsizliği vardır.𝐴𝐴0 tekil olmayan simetrik bir M- matrisi olsun. Yeteri kadar büyük bir t değeri için 𝐴𝐴𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐴𝐴0şeklinde oluşturulan M- matrisinin esas minörlerinin toplamları arasında�|𝐴𝐴(1)| < �|𝐴𝐴(1,2)|𝐶𝐶𝑛𝑛2 𝐶𝐶𝑛𝑛1< ⋯ < �|𝐴𝐴(1,2, … , 𝑛𝑛)|.𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛eşitsizliği vardır.