Some Results For Cyclic Codes Over The Ring Z_2^r×Z_2^s×R^t

Abstract

The ring Z_4 has a critical role in coding theory. Another important ring with four elements like ring Z_4 is the ring Z_2 [u]. It is well known that linear and cyclic codes over the ring Z_2 [u] has some advantages compared to Z_4. In this paper, firstly, 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-linear and cyclic codes are defined. Then, using the Gray map Φ that transforms the Lee distance in Z_2^r×Z_2^s×R^t to Hamming distance in Z_2^n, the Gray images of 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-linear codes are obtained. Also, the standart forms of generating and parity-check matrices of 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-linear codes are determined. So, the types and sizes of 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-linear codes are given. Further, algebraic structures of 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-cyclic codes are investigated and the generator polynomials and spanning sets of these codes are determined. Finally, the forms of the dual of separable 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]- cyclic codes are presented and are given some illustrative examples.

Özet

Z_4 halkası kodlama teorisinde çok önemli bir yere sahip olmasına rağmen, dört elemanlı önemli diğer bir halka Z_2 [u] halkasıdır. Z_2 [u] halkası üzerindeki lineer ve devirli kodların Z_4 halkası üzerindeki lineer ve devirli kodlara göre bazı avantajları olduğu iyi bilinmektedir. Bu çalışmada, ilk olarak 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-lineer kodlar ve devirli kodlar tanımlandı. Daha sonra, Z_2^r×Z_2^s×R^t’deki Lee uzaklığını Z_2^n’deki Hamming uzaklığına dönüştüren Gray dönüşümü kullanılarak 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-lineer kodların Gray görüntüleri elde edildi. Ayrıca, 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-lineer kodların standart üreteç ve kontrol matrislerinin formu belirlendi. Böylece bir 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-lineer kodun tipi ve sahip olduğu kodsöz sayısı verildi. Dahası, 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-devirli kodların cebirsel yapıları incelendi ve bu kodların üreteç polinomları ile minimum üreteç kümeleri belirlendi. Son olarak, ayrılabilir 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-devirli kodların duallerinin formu araştırıldı ve etkili bazı örnekler verildi.