Rotational hypersurfaces satisfying ∆ 𝑰𝐑 = 𝐀𝐑 in the four-dimensional Euclidean space

Dört-Boyutlu Öklid Uzayında ∆ 𝐼𝐑 = 𝐀𝐑 Koşulunu Sağlayan Dönel Hiperyüzeyler

Abstract

In this study, rotational hypersurfaces in the 4-dimensional Euclidean space are discussed. Some relations of curvatures ofhypersurfaces are given, such as the mean, Gaussian, and their minimality and flatness. In addition, Laplace-Beltrami operator hasbeen defined for 4-dimensional hypersurfaces depending on the first fundamental form. Moreover, it is shown that each elementof the 4 × 4 order matrix 𝐀, which satisfies the condition ∆𝐼𝐑 = 𝐀𝐑, is zero, that is, the rotational hypersurface 𝐑 is minimal.

Özet

Bu çalışmada, 4-boyutlu Öklid uzayındaki dönel hiperyüzeyler ele alınmıştır. Hiperyüzeylerin ortalama, Gauss eğrilikleri hesaplanıp aralarındaki minimal ve düzlemsel olma durumları gibi bazı bağıntılar verilmiştir. Ayrıca, 4-boyutlu hiperyüzeyler için birinci temel forma bağlı olarak Laplace-Beltrami operatörü tanımlanmıştır. Üstelik, dönel yüzeyin ∆ 𝐼𝐑 = 𝐀𝐑 koşulunu sağlayan 4 × 4 mertebeli 𝐀 matrisinin her elemanının sıfır olduğu, yani 𝐑 dönel hiperyüzeyinin minimal olduğu gösterildi.