A STUDY ON ABSOLUTE EULER TOTIENT SERIES SPACE AND CERTAIN MATRIX TRANSFORMATIONS

MUTLAK EULER TOTİENT SERİ UZAYI VE BAZI MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Abstract

Recently, many authors have focused on the studies related to sequence and series spaces. In the literature the simple andfundamental method is to construct new sequence and series spaces by means of the matrix domain of triangularmatrices on the classical sequence spaces. Based on this approach, in this study, we introduce a new series space 𝜙𝑧 𝑝 asthe set of all series summable by absolute summability method 𝛷, 𝑧𝑛 𝑝 , where 𝛷 = 𝜙𝑛𝑘 denotes Euler totient matrix,𝑧 = 𝑧𝑛 is a sequence of non-negative terms and 𝑝 ≥ 1. Also, we show that the series space 𝜙𝑧 𝑝 is linearly isomorphicto the space of all 𝑝- absolutely summable sequences ℓ𝑝 for 𝑝 ≥ 1. Moreover, we determine some topological propertiesand 𝛼, 𝛽 and 𝛾-duals of this space and give Schauder basis for the space 𝜙𝑧 𝑝 . Finally, we characterize the classes of thematrix operators from the space |𝜙𝑧 |𝑝 to the classical spaces ℓ∞ , 𝑐, 𝑐0, ℓ1 for 1 ≤ 𝑝 < ∞ and vice versa.

Özet

Son zamanlarda birçok yazar dizi ve seri uzayları ile ilgili çalışmalara yoğunlaşmışlardır. Literatürde basit ve temel yaklaşım klasik dizi uzayları üzerinde üçgensel matrislerin matris etki alanı yardımıyla yeni dizi ve seri uzayları inşa etmektir. Bu çalışmada, bu yaklaşımdan yola çıkarak 𝛷, 𝑧𝑛 𝑝 mutlak toplanabilme metodu ile toplanabilen tüm serilerin uzayı olan yeni bir 𝜙𝑧 𝑝 seri uzayı tanımlanmıştır, burada 𝛷 = 𝜙𝑛𝑘 Euler totient matrisini gösterir, 𝑧 = 𝑧𝑛 terimleri negatif olmayan bir dizidir ve 𝑝 ≥ 1 dir. 𝜙𝑧 𝑝 seri uzayının tüm mutlak 𝑝- toplanabilen dizilerin ℓ𝑝 , 𝑝 ≥ 1, uzayına izomorf olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, bu uzayın bazı topolojik özellikleri ile 𝛼, 𝛽 and 𝛾- dualleri belirlenmiştir ve 𝜙𝑧 𝑝 uzayı için Schauder bazı verilmiştir. Son olarak, |𝜙𝑧 |𝑝 uzayından ℓ∞ , 𝑐, 𝑐0, ℓ1 klasik dizi uzaylarına ve ℓ∞ , 𝑐, 𝑐0, ℓ1 klasik dizi uzaylarından |𝜙𝑧 |𝑝 uzayına bazı matris operatörleri karakterize edilmiştir.