A New Identity for the Partitions

Abstract

After Dyson found a combinatorial method “rank” for the congruences given by Ramanujan, Atkin and Swinnerton – Dyer wrote the partition function$Pi(1-q^r)^{-1}$ as 4-th, 6-th and 10-th degree polynomials in q to calculate the partition properties in terms of rank and the congruences properties modulo 5, 7, 11 and they used a relation between the power series in y $(y=q^m)$ to simplify the coefficients of these polynomials. In this paper, we generalize this relation given by Atkin and Swinnerton – Dyer and we give some new results which are useful when the partition function is written 12-th and 16-th degree polynomials in q in a simpler form.

Özet

Dyson, Ramanujan kongruansları için “rank” adını verdiği bir sayma metodu geliştirdikten sonra, Atkin ve Swinnerton – Dyer, ayrışımların rank’a göre özelliklerini ve modulo 5, 7, 11’e göre kongruans özelliklerini hesaplamak için $Pi(1-q^r)^{-1}$ ayrışım fonksiyonunu q’nun 4., 6. ve 10. dereceden bir polinomu olarak yazmışlar ve bu polinomların katsayılarını sadeleştirmek için y’deki $(y=q^m)$ kuvvet serileri arasındaki bir ilişkiyi kullanmışlardır. Bu çalışmada Atkin ve Swinnerton – Dyer’ın verdiği bu ilişki genelleştirilerek, ayrışım fonksiyonu 12. ve 16. dereceden bir polinom olarak sade bir halde yazmak için çok kullanışlı olan yeni sonuçlar verilmiştir.