Equivalence transformations of the general first order balance equations

Abstract

If a given set of equations contains some arbitrary functions or parameters we have in fact a family of sets of equations of the same structure. Almost all field equations of classical continuum physics possess this property since they describe certain common or similar behaviors of diverse materials. Equivalence groups are defined as groups of continuous transformations which leave a given family of equations invariant. In other words, they map an arbitrary member of the family onto another member of the same family and they transform a solution of a set of equations onto a solution of another set in the same family whereas the symmetry transformations map a solution of a system to another solution of the same system. In this work equivalence transformations of first order general balance equations involving arbitrary number of dependent and independent variables are investigated by using isovector method. To study system of balance equations occupies a privileged position since many equations in classical physics are of this form. The method consists of determining isovector fields of a closed ideal of certain exterior forms defined on a properly extended manifold. Isovector fields are defined as such vector fields whose orbits generate transformations under which the ideal remains invariant. After obtaining determining equations of equivalence transformations, their explicit solutions are found. The general results are applied to Maxwell equations.

Özet

Verilmiş bir diferansiyel denklemler grubu keyfi fonksiyonlar, parametreler içeriyorsa, elimizde aynı yapıda denklemler grubunun ailesi var demektir. Eşdeğerlik grupları, verilen denklem ailesini değişmez bırakan dönüşümlerin grubu olarak tanımlanır. Simetri dönüşümleri diferansiyel denklemlerin bir çözümünü başka çözümlere götürürken, eşdeğerlik dönüşümleri ailenin bir üyesini diğer üyesine götürür ve denklemler grubunun bir çözümünü aynı ailenin başka grubunun çözümüne dönüştürür. Çalışmada birinci mertebe genel denklik denklemleri sisteminin eşdeğerlik dönüşümleri izovektör yöntemi ile incelenmiştir. Klasik sürekli fiziğin bir çok denklemi bu grupta ifade edilebildiğinden, sonuçları geniş uygulama alanına sahiptir. Eşdeğerlik dönüşümlerinin belirleyici denklemleri elde edildikten sonra açık çözümleri belirlenmiş, genel şema elektromagnetizmanın Maxwell denklemlerine uygulanmıştır.