Internal rate return decision rules in case of uncertainty

Abstract

Internal rate of return (IRR) method is one of the investment appraisal techniques to evaluate the acceptability of a single project which is characterized by the comparison of IRR with Minimum Attractive Rate of Return (MARR) of the company. Some other methods are Present Value (PV), Future Value (FV), Equivalent Uniform Annual Value (EUAV), Benefit/ Cost Ratio (B/C Ratio), and Payback Period. To the best of our knowledge, the literature pertaining to IRR mostly revolves around the problem of multiple returns (for example, see Hartman and Schafrick, 2004; Zhang, 2005; Hazen, 2003) and the propositions how to integrate multiple rates of return into one internal rate of return or which one of the multiple rates of return to consider as a unique internal rate of return to be able to compare with the MARR of the company. On the other hand, to our mind, another crucial problem regarding IRR should be the consideration of uncertainty, i.e., the calculation of IRR by considering the net cash flows as uncertain. Since, the traditional approaches involve merely the expected values of the net cash flows for the calculation of IRR, any variation from the expected values may invalidate the decision of the project. With this concern, fuzzy sets approach is one of the approaches in the literature that considers uncertainty in investment appraisal techniques for single projects, especially for PV, FV, Capitalized Value, EUAV, B/C Ratio, and Payback Period methods (for example, see Chiu and Park, 1994; Kahraman et al.,2000; Kahraman et al., 2002). However, the use of fuzzy sets approach for the IRR method was also discussed and some authors concluded the impossibility of the applicability of the fuzzy approach to the calculation of IRR (for example, see Kahraman et al., 2002 for the review), since 0 is not a fuzzy number, and the left-hand side and 0 cannot be compared. In this paper, we assume net cash flows as fuzzy numbers, specifically as triangular fuzzy numbers, and propose to reformulate two PV equations by considering t-norm and t-conorm fuzzy relations to compare the left-hand side and the right-hand side of each PV equation. We also consider MARR value as a fuzzy number, specifically a triangular fuzzy number, to be able to compare the IRR values obtained from t-norm and t-conorm fuzzy relations with the respective MARR values for each α-cut level. Afterwards, we propose the decision rules for IRR. In the decision rules, we note that the predetermined thresholds for α-cut levels determine the final decision of the decision maker. We also note that we expect to obtain the best values and worst values of IRR for a given α-cut level, and that the decision maker may have the opportunity to see the possible range of the IRR values between these best values and worst-values. A taxonomy of fuzzy ranking methods and the details of the methods have been provided in Chen and Hwang (2002). t-norm and t-conorm fuzzy relations are the extensions of possibility and necessity measures (Ramik, 2006), while possibility and necessity measures are classified under the group “Comparison function” in the taxonomy of Chen and Hwang (2002). t-norm and t-conorm fuzzy relations and their properties are examined in detail in most reference books (for example, see Klir and Yuan, 1995; Buckley et al., 2002). Inuiguchi et al. (2003) also studies t-norm and t-conorm fuzzy relations in detail and applies t-norm and t-conorm fuzzy relations to a general Fuzzy Linear Programming (FLP) model to compare the left-hand side with the right-hand side of the inequality constraints, and also to compare the objective function with the aspiration level as a definition of the maximization of the objective function. The following paper follows the approach of Inuiguchi et al. (2003), but applies the approach to the PV equations to compare the left-hand side and righthand side, so that t-norm and t-conorm based IRR values are obtained for each α-cut level. We illustrate the proposed decision rules with a threeperiod simple project example, and interpret the results. As an alternative to the proposed decision rules, we also propose to defuzzify the triangular fuzzy numbers representing IRR and MARR by Center of Gravity method, so that we can compare the singleton IRR and MARR results. We also compare the results obtained from the decision rules and from the defuzzification of the triangular fuzzy numbers. Finally, in the conclusions, we summarize the results and give the potentials for future research to apply the proposed decision rules to other types of projects.

Özet

İç verim oranı; Şimdiki Değer (ŞD), Kar/Maliyet oranı, Geri Dönüşüm süresi gibi yatırımları değerlendirmede kullanılan yöntemlerden biridir. İç verim oranı yöntemi, elde edilen değerin Minimum Çekici Verim Oranı (MÇVO) değeri ile karşılaştırılmasını içerir. İç verim oranının hesaplanmasında literatürde, projenin türüne göre birden fazla iç verim oranı değerinin elde edilmesi ve bu değerlerin karşılaştırma için kullanılması üzerine çalışmalar yapılmaktadır. Ancak iç verim oranı hesaplanmasında dikkate alınması gereken bir diğer konu da belirsizlik durumunun dikkate alınması gerektiği, aksi takdirde beklenen net nakit akışı değerleri ile yapılan hesaplamaların yanlış kararlara neden olabileceği gerçeğidir. Bu düşünceden yola çıkarak çeşitli yatırım değerlendirme yöntemleri için aralarında bulanık kümeler yaklaşımının da kullanıldığı formülasyonlar gerçekleştirilmiştir. Ancak bulanık kümeler yaklaşımı dikkate alındığında iç verim oranının hesaplanmasında diğer yatırım değerlendirme yöntemlerine nazaran belirli bir formülasyon gerçekleştirilememiştir. Bu çalışmada bulanık sıralama yöntemlerinden olan t-norm ve t-conorm bulanık bağıntıları kullanılarak Şimdiki Değer eşitlikleri oluşturulmakta, herbir bulanık bağıntı için çeşitli α-kesme düzeylerine karşılık gelen iç verim oranı değerleri hesaplanarak iç verim oranı ile ilgili karar kuralları oluşturulmaktadır. Bir basit proje örneği üzerinde, önerilen karar kuralları uygulanmakta ve bu örnekle ilgili yorumlar yapılmaktadır. Ayrıca, iç verim oranı için belirlenen karar kurallarına alternatif bir yöntem olarak, t-norm ve t-conorm bulanık bağıntıları kullanılarak elde edilen üçgen bulanık sayıların durulaştırılması da önerilmekte ve bu yöntemle elde edilen sonuçların karar kuralları kullanılarak elde edilen yöntemlerle karşılaştırması yapılmaktadır.