Ricci-rank 1 Lorentzian manifolds: static exact solutions

Abstract

In 4-dimensions, the Newman-Penrose (NP) formalism (Newman, et a1, 1962 ) which has found wide applications in General relativity uses a ``moving frame" consisting of null 1-forms {l,n,m,m} and it is related to a spin structure on manifold M . In this paper firstly, the Ricci tensor matrix is expressed with respect to {l,n,m,m} local base by using the Newman-Penrose formalism and determined its structure when $Phi_{00}neq 0$ . When the case $Phi_{00}neq 0$ , the rank 1 condition of the Ricci tensor matrix is found. For the general type B warped product metric, when the second component of the manifold has the space of constant curvature and is embedded in $R^3$ ,compact, connected and regular, it is shown that space-time must be spherically symmetric. When the Ricci tensor has rank 1 and the Energy-momentum tensor is non-singular, it is shown that physical source must be a massless scalar field. Newman-Penrose quantities are calculated by reducing the general type B warped metric to spherically symmetric metric. For the spherically symmetric metric, Einstein's field equations are obtained by using the Ricci tensor rank 1 condition. In the paper secondly, Einstein's field equations are studied independently of the Ricci rank 1 classification via a spherically symmetric metric coupled to a massless scalar field in (3+1)-dimensions. The initial value problem for this problem was studied analytically and the existence of solutions was proved in (Christodoulou, 1986a and 1986b). The numerical investigation of the same problem (Choptuik, 1993) led to the discovery of the ``threshold phenomenon", for which a detailed overview can be found for example in Gundlach (Gundlach, 2003). The field equations used in numerical studies in the literature form a consistent but over-determined system. In this paper, we made use of the complete set of field equations as in Harrison (Harrison,2004) to decouple the equations for the metric functions from the equations for the scalar field. These equations form a normal system and they are effectively of second order in time. In logarithmic coordinates, they have no explicit dependency on the independent variables, as expected from the symmetry analysis of the original equations. The second order hyperbolic equation for the mass density involves a parameter that can be either plus or minus one, hence the decoupled system has positive and negative ``branches". Besides its suitability for perturbative studies, in the time independent case, this system reduces to an autonomous second order system and allows a rigorous analysis of the negative branch, which is not transparent in the original formulation.. In particular the non-flat special solution for the negative branch corresponding to $mu = 1/4$ or m= (1/ 4)r, is obvious. We noted that the static case can be realized either by $phi_1=0 $ or by $phi_s=0 $, corresponding respectively to the positive and negative branches and then static special solutions for the positive and negative branches are given. For the positive branch we obtained an exact analytic solution and by using the phase plane analysis, it is proved that the trivial solution $mu = 0$ is a global attractor in the region $mu +nu > 0 $, $mu 0$ , $mu

Özet

Einstein alan denklemlerinin çözümlerinde kullanılan ve kotanjant demetinin {l,n,m,m}ışıksal yerel tabanı için hareketli çatı yaklaşımına eşdeğer olan, Newman-Penrose (NP) formalizmi kullanılarak, $Phi_{00}neq 0$ durumu için Ricci tensörünün rankının 1 olma koşulu elde edildi. Daha sonra genel bir B tipi warped çarpım metrik için NP sistemi verilerek, bu sistemde manifoldun ikinci bileşeninin sabit eğriliğe sahip, $R^3$ ’e gömülmüş, kompakt, bağlantılı ve regüler bir manifold olması durumunda uzay-zamanın küresel simetrik, Ricci tensörü matrisinin rankının 1 ve Enerji-momentum tensörü matrisinin tekil olmaması durumunda, fiziksel kaynağın kütlesiz bir skaler alan olması gerektiği ispatlandı. Genel B tipi warped çarpım metrikten, küresel simetrik metriğe geçilerek, NP büyüklükleri hesaplandı. Einstein alan denklemleri, Ricci tensörü için rank 1 koşulu kullanılarak elde edildi. İkinci olarak, (3+1) boyutta Einstein alan denklemleri, küresel simetrik metriğe kütlesiz skaler alanın kuple edilmesiyle çalışıldı. Başlangıçta ``over determined" olan orjinal sistem, a,$alpha$,r ve m değişkenleri Choptuik (Choptuik, M. W , (1993). ``Universality and scaling in gravitational collapse of massless scalar field", Physical Review Letters, 70, 9) de olduğu gibi kullanılarak, $mu =m/r$ ve $y=alpha/ra$ fonksiyonları için efektif olarak zamana göre ikinci dereceden normal bir sisteme indirgendi. $mu $ ve y için, zamandan bağımsız (statik) duruma, skaler alanın $phi_1=0 $ veya $phi_s=0 $ olması durumunda geçildi ve bunlar sırasıyla pozitif ve negatif dal olarak adlandırıldı. Pozitif dal olarak adlandırdığımız statik durum için hem tam çözüm bulundu, hem de faz düzlemi analizi ile $mu = 0$ aşikar çözümünün$mu_s +mu = 0,mu < 1/2 $ bölgesinde bir genel çekim noktası olduğu kanıtlandı. Negatif dal olarak adlandırdığımız statik durum, dinamik bir sistem olarak incelendi ve tüm çözüm eğrileri karakterize edilerek (1 4,0) noktasının $mu_s +mu = 0,mu < 1/2 $ bölgesinde genel bir çekim noktası olduğu ispat edildi.