Abstract Uncountable Infinity Undecidability and Gödel s Incompleteness Theorem

Abstract

In this paper, we survey the topics that were studied in the 19th and 20th century on the philosophy/foundations of mathematics, and discuss the impacts of mathematical logic and formalism, history of computability theory, and studies in mathematics that lead to the creation of the foundations of the- oretical computer science. Briefly, we discuss Cantor s theory of infinite sets, self-referential paradoxes, Gödel s incompleteness theorems, undecidability, and the halting problem. Finally, we discuss the relationship between formal language theory and a problem in set theory, called the continuum hypothesis. We then point out a possible crisis, that may occur in computability theory, in relation to the continuum hypothesis.

Özet

Özet Bu makalede 19. ve 20. yüzyılda matematiğin felsefesi/temelleri üzerine yapılan çalışmalardan, mantığın ve biçimselleştirmenin getirdiği sonuçlardan, hesaplanabilirlik kuramının tarihinden, ve teorik bilgisayar biliminin oluşumuna neden olan matematik dünyasındaki çalışmalardan bahsedilmiştirÖzetle, Cantorun sonsuz kümeler kuramı, kendine referans veren paradokslar, Gödelin eksiklik kuramı, karar verilemezlik ve teorik bilgisayar bilimi literatüründe bilinen durma problemine değinilmiştir. Son olarak kümeler kuramında bir problem olarak bilinen süreklilik hipotezinin biçimsel dillerle olan ilişkisinden ve hesaplanabilirlik kuramında doğabilecek potansiyel bir krizden bahsedilmiştir.