Selfadjointness and Positiveness of the Differential Operators Generated by New Type Sturm-Liouville Problems

Yeni Tipten Sturm-Liouville Problemlerinin Ürettiği Diferansiyel Operatörlerin Kendine Eşlenikliği ve Pozitivliği

Abstract

It is purpose of this paper to investigate Sturm-Liouville equation u(x)q(x)u(x)  u(x)on many-interval 1 1 2 2 [ , ) ( , ) ( , ]       with the eigenvalue parameter appearing linearly in theboundary conditions and with two supplementary transmission conditions. The classical Sturmian theory didnot cover such type of many-interval boundary value transmission problems. For the classical Sturm-Liouvilleproblems it is guaranteed that the problem is self-adjoint with compact resolvent, the spectrum is disctrete andconsist of eigenvalues and the corresponding eigenfunctions form an orthogonal basis in the well-known Hilbertspace 2[ , ] L . But the boundary-value-transmission problems are not self-adjoint and the system ofeigenfunctions did not form a basis in the classical Hilbert space 2[ , ] L  in general. Taking in view this factwe suggest a new approach for self-adjoint realization of such type transmission problems. Moreover, we definesome new Hilbert spaces to establish positiveness of corresponding operator-pencil. At first we define a conceptof generalized eigenfunctions for this kind of spectral problems. In particular it is shown that if the potential()qx is continuous then the generalized eigenfunctions satisfies the considered problem is the classical sense.Then we introduce to the consideration some compact operators such a way that the considered boundary-valuetransmissionproblem can be reduced to the appropriate operator-pencil equation. Finally, we prove that thisoperator-pencil is self-adjoint and positive definite for sufficiently large negative values of the eigenparameter.It is important to note that the obtained results extends classical results associated with regular Sturm-Liouvilleproblems.

Özet

Bu makalenin amacı 1 1 2 2 [ , ) ( , ) ( , ]       çok-aralığında tanımlı olan, özdeğer parametresini doğrusal olarak sınır şartlarında bulunduran ve iki tane ek geçiş şartı içeren u(x)q(x)u(x)  u(x) Sturm-Liouville problemini araştırmaktır. Klasik Sturm-Liouville teorisi bu tipten çok-aralıklı sınır-değer-geçiş problemlerini kapsamaktadır. Klasik Sturm-Liouville problemleri için kendine-eşleniklik, rezolventin kompaktlığı, spektrumun diskretliği ve uygun özfonksiyonların iyi bilinen 2L [ , ] Hilbert uzayında ortogonal baz oluşturma özelliği sağlanmaktadır. Genellikle sınır-değer-geçiş problemleri kendine-eşlenik değildir ve özfonksiyonlar sistemi klasik 2L [ , ] Hilbert uzayında baz oluşturmuyor. Bunu dikkate alarak, bu tipten geçiş problemlerinin kendine-eşlenik biçimde sonuçlanabilmesi için yeni bir yaklaşım önermişiz. Bunun dışında uygun operatör-demetinin pozitivliğini gösterebilmek için bazı yeni Hilbert uzayları tanımladık. İlk olarak bu türden spektral problemlerin genelleştirilmiş özfonksiyonları kavramını tanımladık. Özel olarak gösterdik ki, eğer ()qx potansiyeli sürekli ise, o halde genelleşmiş özfonksiyonlar incelediğimiz problemi klasik anlamda da sağlıyor. Daha sonra bazı kompakt operatörleri öyle tanımladık ki araştırılan sınır-değergeçiş problemlerini uygun operatör demetine dönüştürmek mümkün olsun. Son olarak özdeğer parametresinin mutlak değerce yeteri kadar büyük negativ değerleri için bu operatör demetinin kendine eşlenik ve pozitiv olduğunu ispat ettik. Elde edilen sonuçların düzgün Sturm-Liouville problemlerinin sağladığı klasik sonuçları genelleştirmesi önem arz etmektedir.