A Note On Bipartite Graphs with Domination Number 2 and 3

Abstract

When each edge of a connected G graph is replaced by a unit resistor, the resistance distance is computed as the effective resistance between any two vertices in G. The Kirchhoff index of G is given by the sum of resistance distances between all pairs of vertices. The multiplicative eccentricity resistance-distance (MERD) of a connected graph G is defined as , where is the set of vertices of , is the resistance-distance between the vertices and , and are the eccentricity of the vertices and , respectively. The MERD of the G can be obtained by using Kirchhoff index. In this paper, we characterize the bipartite graphs which have the smallest and largest MERD with domination number 2 are given. We also characterize the bipartite graphs which have the smallest MERD with the domination number 3.

Özet

Bağlantılı bir G grafının tüm kenarları birim direnç ile değiştirildiğinde, direnç mesafesi G ’nin herhangi iki köşesi arasındaki efektif direnç olarak hesaplanır. ’nin Kirchhoff indeksi tüm köşe çiftlerinin direnç mesafelerinin toplamı olarak tanımlanır. , G ’nin köşelerinin kümesi, ise ile köşeleri arasındaki direnç mesafesi ve , de sırasıyla ve köşelerinin eksantriği olmak üzere, bağlantılı bir grafının çarpımsal eksantrik direnç mesafası (ÇEDM) olarak tanımlanır. G grafının ÇEDM’i Kirchhoff indeksini kullanarak hesaplanabilir. Bu makalede, baskınlık sayısı 2 olan iki parçalı graflardan en küçük ve en büyük ÇEDM’e sahip olanlar karakterize edilmiştir. Ayrıca baskınlık sayısı 3 olan iki parçalı graflardan en küçük ÇEDM’e sahip olanlar karakterize edilmiştir

Keywords: Elektik devreleri, Kirchhoff indeks, İki parçalı graflar, Direnç mesafesi