Parallel Surfaces of Hasimoto Surfaces in Euclidean 3-Space

Abstract

In this study, firstly Hasimoto surfaces and parallel surfaces are introduced. Secondly, basic definitions and theorems about Hasimoto surfaces and parallel surfaces are given. After that, the coefficients of the first and second fundamental forms of the obtained parallel surfaces are calculated. Thus, Gaussian and mean curvatures are found and the relations between the curvatures of the original surface and its parallel are given. In addition, using these curvatures, some differential geometric results are given and it is discussed that the parameter curves of Hasimoto surface and its parallel surface are geodesic, asymptotic or line of curvature under which condition. Finally, if the curve producing the Hashimoto surface is a plane curve, then curvature of the parallel curve is calculated. An example is given and the obtained curves are drawn with the help of Mathematica.

Özet

Bu çalışmada, ilk olarak Hasimoto yüzeyler ve paralel yüzeyler tanıtılmıştır. İkinci olarak, Hasimoto yüzeyler veparalel yüzeylerle ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. Bundan sonra, elde edilen paralel yüzeylerin birincive ikinci temel form katsayıları hesaplanmıştır. Böylece, Gauss ve ortalama eğrilikler bulunmuştur ve asıl yüzeyve paralelinin eğrilikleri arasındaki ilişkiler verilmiştir. Ayrıca, bu eğrilikleri kullanarak, bazı diferansiyelgeometrik sonuçlar verilmiştir ve Hasimoto yüzeyi ve paralel yüzeyinin parametre eğrilerinin hangi şart altındageodezik, asimptotik veya eğrilik çizgisi olma durumları tartışılmıştır. Son olarak, eğer Hasimoto yüzeyini üreteneğri bir düzlem eğrisi ise o zaman paralel eğrinin eğriliği hesaplanmıştır. Bir örnek verilmiştir ve elde edilen eğrilerMathematica yardımıyla çizilmiştir.