Characterizations of Roller Coaster Surface According to Ribbon Frame

Abstract

In differential geometry, the research of certain classes of surfaces with particular features in 3-dimensionalEuclidean space such as ruled and developable surfaces, which are 1-parameter smooth families of straight lines,has a significant role in the field of CAD, civil engineering, and architecture. Moreover, the work path andworkspace of robotic or mechanic operations are formed by these spatial curves and surfaces respectively duringthe generation process. Thus, it is reasonable to make use of differential geometry in order to understand thesesurfaces and spatial curves. Circular surfaces are also regarded as a highly essential topic in a different area likeas ruled surfaces. A canal surface and tube surface of a space curve can be given as one of the important class ofexamples of circular surface. Roller coasters are usual examples of energy transformation, with an interaction ofkinetic and potential energy as the train moves surrounding the curves, loops, hills and valleys of the path. A rollercoaster path so that a particle moving in space will stay on a given curve in space. The roller coaster surface is aspecial type of spherical surfaces. In this study, ℜ-Roller Coaster surfaces with Ribbon frame is investigate inEuclidean 3-space. Moreover, the Gaussian curvature, mean curvature, first and second fundamental form ofcoefficients of Roller Coaster surfaces of are examined. Then, the parallel surfaces of ℜ-Roller Coaster surfacesof are obtained. Finally, we derive the related equations for the inextensible flow of a ℜ -Roller Coaster surface.

Özet

Diferansiyel geometride 3-boyutlu Öklid uzayında yüzeylerin önemli bir sınıfı olan ve 1-parametreli diferansiyellenebilir doğru aileleri ile elde edilen regle ve açılabilir yüzeyler bilgisayar destekli dizayn programlarında, inşaat mühendisliğinde, mimarlık alanlarında önemli bir yere sahiptir. Ayrıca, robotik ve mekaniksel bazı işleyişlerin çalışma yolu ve çalışma alanlarını üreten süreçler uzaysal eğri ve yüzeyler ile oluşturulur. Bu eğri ve yüzeyleri anlamak için diferansiyel geometriye başvurulması ise gayet doğal bir yaklaşım olacaktır. Dairesel yüzeyler de tıpkı regle yüzeyler gibi birçok alanda kullanılan önemli bir konudur. Bir eğri yardımıyla elde edilen kanal ve tüp yüzeyler ise dairesel yüzeylere verilecek en önemli yüzey ailelerindendir. Roller coasterler trenin; virajların, halkaların, tepelerin ve vadilerin etrafında hareket ederken kinetik ve potansiyel enerjinin etkileşimi ile klasik enerji dönüşümlerine örnektirler. Bir roller coaster pisti, uzayda hareket eden bir parçacığın uzayda verilen bir eğri üzerinde kalacaktır. Roller Coaster yüzeyi dairesel yüzeylerin özel bir tipidir. Bu çalışmada, 3-boyutlu Öklid uzayında Ribbon çatısıyla ℜ-Roller Coaster yüzeyi araştırıldı. Dahası, ℜ-Roller Coaster yüzeyinin 1. ve 2. Temel formun katsayısı, ortalama eğriliği, Gauss eğrilikleri incelemiştir. Ayrıca, ℜRoller Coaster yüzeylerinin paralel yüzeyleri elde edildi. Son olarak, bir ℜ -Roller Coaster yüzeyinin elastik olmayan akışına karşılık gelen denklemler bulundu.