The Stability of a Modified Form of Reaction Diffusion Equation inPhase Plane

Modife Formdaki Reaksiyon Difüzyon Denkleminin Faz Diyagramındaki Kararlılığı

Abstract

We examine the dynamics of nonlinear system related in the following equation namely, $𝑢_𝑡$ + $𝑢𝑢_𝑥$ = $𝑢_𝑥𝑥$ − (1 − $𝑢^2$ ), where 𝑥 ≠ 0, represents distance, 𝑡 represents time. As a beginning we start to get ordinary differential equation form of aboveequation after substituting of a new transformation into it. Then dynamical system of ordinary differential equation form is indicateddepend on selected variables. According to the critical points of the dynamical system of ordinary differential equation form, thestructures of the eigenvalues of them are identified. We attempt to find a heteroclinic connection from unstable node to stable nodein parallel with travelling wave solutions for the minimum wave speed and the structure of the other travelling wave solutions to beidentified. Furthermore, by applying a matlab implementation of ode45 package the ordinary differential equation form isnumerically solved in phase plane and applying parabolic method to compare analytic and numric results.

Özet

Aşağıdaki denklem $𝑢_𝑡$ + $𝑢𝑢_𝑥$ = $𝑢_𝑥𝑥$ − (1 − $𝑢^2$ ), 𝑥 ≠ 0, uzaklığı ve 𝑡 zamanı niteleyen, nonlineer dinamik sistemi içerisinde incelenmiştir. Başlangıç olarak yukarıdaki denleme yenidönüşüm uygulanarak kısmi differansiyel formu elde edildi. Sonra oluşturulan denklemin seçilmiş değerlerine bağlı kalınarak kısmidiferansiyel denklemin dinamik sistemi tanımlandı. Oluşturan kısmi diferansiyel formdaki denklemin dinamik sisteminin kritiknoktalarına bağlı kalınarak, sistemin özdğerlerinin yapısı tanımlandı. Amacımız unstable node dan stale node a dğoru bir heteroclinicyapı tanımlamak ve buna bağlı olarak dalgalanma hareketleri için gereken en küçük dalga hızını tanımlayıp başka dalgalanmahareketleri oluşumu varsa yapılarını belirlemek. Son olarak yapılan uygulamalara ek olarak matlab ode45 paketi kısmi diferansiyelformdaki denkleme uygulanarak faz diyagramında numerik çözümü elde edilmiştir ve parabolic method uygulanarak elde edilennumerik çözümlerle analitik çözüm karşılaştırılmıştır.