İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi

Abstract

Two dimensional (2D) linear transformations are commonly used in a lot of field of Geomatics Engineering. Most used of them are similarity (Helmert) transformation between two orthogonal coordinate systems and affine transformation between an orthogonal and an oblique coordinate system. Since many users don’t have any idea on the geometry (for source-target coordinates systems from an orthogonal to an orthogonal or from an orthogonal to an oblique or from an oblique to an orthogonal) of transformation preferred by them, they can be fallen in some mistakes after the transformation. Uncommon point coordinates produced using transformation parameters obtained with the wrong geometric model are to be incorrect. If the basic geometry of the transformation is chosen correctly, the transformation results reflect the truth. Otherwise, statistical tests also can give misleading results. The aim of this article is to inform the users about the transformation geometry and to ensure that the transformation chosen by them is to be suitable for their own transformation problem. In this article, the most general statement of a two-dimensional linear transformation has been derived from a relationship between two oblique coordinate systems at first. Then, it is demonstrated geometrically that the transformations between oblique and orthogonal or between two orthogonal coordinate systems are special states of the most general model, and their formulas are derived from the general model. By a transformation problem taken from real life, it is demonstrated that a wrong choice between the affine and similarity transformations which are generally used in practice is caused wrong results.

Özet

İki boyutlu (2B) doğrusal dönüşümler Harita (Geomatik) mühendisliğinin birçok alanında geniş bir kullanım alanı bulmuştur. Bunlardan en çok kullanılanları, iki dik koordinat sistemi arasındaki benzerlik (Helmert) ya da eğik ve dik koordinat sistemleri arasında yapılan afin dönüşümdür. Birçok kullanıcı bu dönüşüm türlerinden birini seçerken yaptığı (kaynak-hedef koordinat sistemleri arasındaki dönüşüm dikten-dike ya da eğikten-dike veya dikten-eğiğe olsun şeklindeki) geometrik kabule dikkat etmez. Yanlış geometrik model ile elde edilen dönüşüm parametreleri kullanılarak üretilen eşlenik olmayan nokta koordinatlar hatalı olurlar. Dönüşümün temel geometrisi doğru seçilmiş ise dönüşüm sonuçları gerçeği yansıtır. Aksi durumda, istatistik testler dahi yanıltıcı sonuçlar verebilir. Bu çalışmada, kullanıcının seçebileceği doğrusal dönüşümlerin geometrik yapısı incelenmiş ve kendi problemine uygun dönüşüm türünü seçmesi için önerilerde bulunulmuştur. Çalışmada ilk olarak iki boyutlu doğrusal dönüşümün en genel hali olan iki eğik koordinat sistemi arasındaki dönüşüm türü olan tam afin bağıntıları çıkarılmıştır. Uygulamada geniş bir kulanım alanı bulan eğik-dik (afin) ve dik-dik koordinat (benzerlik) sistemleri arasındaki dönüşümün türünün, iki eğik koordinat sistemi arasındaki dönüşüm türünün özel halleri olduğu geometrik olarak gösterilmiş ve bu dönüşümlerin genel bağıntıları çıkarılmıştır. Uygulamada yaygın olarak kullanılan eğik-dik (afin) ya da dik-dik (benzerlik) koordinat dönüşümü seçiminin nasıl bir yanılgı doğuracağı gerçek bir sayısal örnek üzerinde gösterilmiştir.