Non-Newtonyen akışkanların sınır tabakası denklemlerinin Lie Grup analizi

Abstract

Two-dimensional unsteady boundary-layer equations of a general model of non-Newtonian fluids were investigated in this study. In this model, the shear stress is taken as an arbitrary function of the velocity gradient. The infinitesimal generators accepted by the equations were calculated using Lie Group analysis for three cases: 1) Arbitrary shear-stress function, 2) Newtonian fluids 3) Power-Law fluids. Three different boundary-value problems with initial conditions were considered and the restrictions they impose on the infinitesimal generators of the arbitrary shear-stress case were calculated. The problems investigated were flow over a surface, flow due to sheet-stretching and flow with suction or injection. Using scaling symmetry, the equations and boundary conditons were transformed into a partial differential system with two variables. Lie Groups were further applied to these equations. It is shown that the equations do not possess any further symmetry and, hence, the three boundary-value problems can only be solved numerically. A numerical treatment of the two-independent-variable partial-differential system would be easier than the original three-independent-variable partial-differential system.

Özet

Genel bir non-Newtonyen akışkan modelinde, iki boyutlu kararsız sınır tabakası denklemleri ele alınmıştır. Bu modelde kayma gerilmesi ile hız gradyanı arasındaki ilişki keyfi bir fonksiyonla ifade edilmiştir. Lie Grupları metodu ile denklemlerin kabul ettiği en genel infinitesimal jeneratörler üç ayrı durum için bulunmuştur: 1) Keyfi Kayma Gerilmesi 2) Newtonyen akışkanlar 3) Power-Law akışkanları. Başlangıç şartlarıyla birlikte üç ayrı sınır değer problemi ele alınmış ve bu problemlerin, keyfi kayma gerilmesi durumundaki jeneratörler üzerine getirdiği kısıtlar bulunmuştur. Sınır değer problemleri yüzey etrafındaki akış, gerdirilen yüzey üzerindeki akış ve delikli yüzey üzerindeki emme ve püskürtmeli akış olarak incelenmiştir. Ölçekleme dönüşümüyle denklemler ve sınır şartları iki değişkenli kısmi diferansiyel denkleme dönüştürülmüştür. Çıkan denklemlere bir kez daha Lie Grubu uygulanmıştır. Denklemlerin simetrisi olmadığı ve ancak nümerik metodlarla çözülebileceği gösterilmiştir. Ancak iki bağımsız değişkenli kısmi diferansiyel denklemin nümerik analizinin, orijinal üç bağımsız değişkenli kısmi diferansiyel denkleme göre daha kolay olacağı açıktır.