How Do Students Prove Their Learning and Teachers Their Teaching? Do Teachers Make a Difference?

Öğrenciler Öğrendiklerini Öğretmenler Öğrettiklerini Nasıl Kanıtlar? : Öğretmen Bir Fark Yaratır mı?

Abstract

Problem Statement: Gaining reasoning skills in early years affects the formal proving skills in the following years, thus it is quite significant. The acquiring of this skill is only possible with the approaches that the teachers used in the process. At this point, the problem to be researched in terms of making proofs is seen in how middle school students prove a mathematical expression; what kinds of reasoning and proof types they use in this process; how the teachers of these students prove the same expression; and how they reflect it to their instruction.Purpose of the Study: The purpose of this study is to investigate the middle school students’ and their teachers’ reasoning types and proof methods while proving a mathematical expression.Method: A basic qualitative research design was conducted to investigate the research problems. Participants in this study were two middle school mathematics teachers who have different professional experiences, and 18 students from 6th, 7th and 8th grades. A clinical interview technique was used to collect data and the interviews were video recorded. A thematic analysis method was used to analyze the data.Findings and Results: The middle school students tried to decide on the argument by following specific cases in order to verify a mathematical expression, and in this context they performed several actions, such as pattern recognition, seeking the relationship between two variables, and making conjectures. They have performed three types of actions, namely verification, explanation and abstraction during the proving of a mathematical expression. Moreover, they have provided some arguments which were not accepted as proof, by offering experimental, intuitive or illogical justification. On the other hand, it has been observed that the middle school mathematic teachers thought in the same way that their students thought while proving a given mathematical expression. Discussion, Conclusion and Recommendations: As a result of this study, it has been found that students had difficulties in proving mathematical statements; they preferred to use experimental proofs and mostly adapted an inductive approach. On the other hand, the proving tendency of the teachers was mostly at a verification and explanation level; they have a similar structure of thinking with their students in the process of proving mathematical expressions. Reasoning and proof should be the fundamental aspects of mathematics teaching, should play a significant role in mathematical contents without taking it independently, and should be developed in the earlier years. In addition, to what extent mathematics textbooks and mathematics curriculum in each grade level support the reasoning and proof standards should be investigated.

Özet

Problem Durumu: Erken yaşlardan itibaren muhakeme becerisinin kazanımı daha sonraki yıllarda formel anlamda kanıt yapma becerisini etkileyeceğinden oldukça önemlidir. Bu becerinin kazanımı süreçte ancak öğretmenlerin kullandıkları yaklaşımlar ile mümkündür. Öğretmenlerin kanıt yapmak için gerekli olan matematiksel bir iddiayı doğrulama ya da çürütme sürecinde yapılması gerekenleri hazır olarak sunmak ve bir başka durumda öğrencilerden de benzer mantığı uygulamalarını beklemek yerine öğrencilerin düşünme becerilerini geliştirecek, nasıl ve nedenin sorgulandığı, tartışıldığı zengin ortamlar hazırlamaları gereklidir. Bu noktada Türkiye’de öğretim programlarının yeniden yapılanması ile birlikte, ortaöğretim öncesi öğrencilerinin kanıt yapma bağlamında, matematiksel bir ifadeyi nasıl kanıtladıkları, bu süreçte hangi muhakeme ve kanıt türlerini kullandıkları, bu öğrencilerin öğretmenlerinin de aynı ifadeyi nasıl kanıtladıkları ve öğretimlerine nasıl yansıttıkları araştırılması gereken bir problem olarak görülmektedir.Araştırmanın Amacı: Bu araştırmanın amacı, ortaokul öğrencilerinin ve öğretmenlerinin verilen matematiksel ifadelere ilişkin muhakeme etme ve kanıtlama süreçlerini belirlemektir. Araştırmanın, ortaokul düzeyinde öğrencilerin ve öğretmenlerinin kanıt yapma bağlamında matematiksel bir ifadeyi nasıl kanıtladıklarına, bu süreçte öğrencilerin yaşadıkları zorluklara aynı zamanda öğretmenlerin ve öğrencilerin muhakeme etme ve kanıtlama süreçleri aralarındaki ilişkiyi belirleyerek öğretmenlerin de bu süreçteki rollerine dikkat çekme açısından önemli olduğu söylenebilir. Araştırmanın Yöntemi: Bu çalışmada temel nitel araştırma yaklaşımı benimsenmiştir. Çalışmanın katılımcılarını farklı mesleki deneyimlere sahip 2 ortaokul matematik öğretmeni ile bu öğretmenlerin 6., 7., 8. sınıfına devam eden ve her sınıftan üç öğrenci olmak üzere toplam 18 öğrenciden oluşturmaktadır. Zengin bilgiye sahip olduğu düşünülen durumlar üzerinde çalışma olanağı verdiğinden, bu çalışmada amaçlı örnekleme yöntemi çeşitlerinden ‘ölçüt örnekleme’ kullanılmıştır. Öğretmenlerin çalışma süreleri (5 yıl ile 30 yıl), öğrencilerin başarı düzeyleri(yüksek, orta, düşük) örneklem ölçütü olarak belirlenmiş, gönüllülük esas alınmıştır. Araştırma verilerinin toplanmasında nitel araştırma yöntemlerinden biri olan klinik görüşme tekniği kullanılmış ve görüşmeler video kameraya çekilmiştir. Verilerin analizinde tematik analiz yöntemi kullanılmıştır. Verilerin analizi yapılırken öncelikle başlangıç kodları iki alan uzmanı tarafından bağımsız şekilde belirlenmiş ve araştırmacılar bir araya gelerek belirlenen kodları karşılaştırmıştır. Kodlar konusunda görüş birliğine varıldıktan sonra temaların oluşturulması için araştırmacılar yeniden önce bağımsız sonra birlikte çalışarak temaların da tutarlı olmasını sağlamışlardır. Kodlar ve temaların oluşturulması sürecinde iki araştırmacı arasında görüş birliğine varılarak ana temalar ve alt temalar belirlenmiştir. Daha sonra ayrıntılı bir biçimde tanımlanan ve adlandırılan tema ve alt temalar yorumlanmıştır.Araştırmanın Bulguları: Araştırmada ortaokul öğrencileri matematiksel bir ifadeyi doğrularken belli sayıdaki adımlardan hareketle iddia hakkında karar vermeye çalışmışlar ve bu bağlamda örüntü tanımlama, iki değişken arasındaki ilişkiyi arama ve varsayımda bulunma şeklinde eylemler gerçekleştirmişlerdir. Verilen matematiksel ifadeleri genelleme sürecinde ise henüz kanıtlanmamış aritmetiksel, sözel, görsel, cebirsel çeşitli varsayımlarda bulunmuşlardır. Varsayımda bulunurken verilen önermelerin doğru olabileceğini tahmin ederek, iddialarını örnek verme ve test etme, özellikle geometride kavramı temsil eden en fazla örnek olma özelliğine sahip prototip şekle dayalı olarak, deneme/yanılma, oran/orantı ve formüle etme gibi çeşitli eylemlerle göstermeye çalışmışlardır. Bu süreçte öğrenciler tümevarım, analojik, geri çıkarım muhakeme türlerini kullanmışlardır. Yanı sıra bazı öğrencilerin de hatalı ya da öğretmen, ders kitabı gibi bir otoriteyi referans göstererek muhakeme yoluna gittikleri gözlenmiştir. Matematiksel bir ifadenin kanıtlanması sürecinde ise öğrenciler doğrulama, açıklama ve soyutlama olmak üzere üç eylem gerçekleştirmişler yanı sıra deneysel, sezgisel ya da mantıklı olmayan gerekçeler sunarak kanıt kapsamına alınmayan argümanlar oluşturmuşlardır. Kanıtlama sırasında genel olarak da orta ve yüksek başarı düzeyine sahip öğrenciler öncelikle bir önermenin doğruluğunu aritmetik, cebirsel ve geometrik/görsel olarak araştırmışlar daha sonra neden doğru olduğunu açıklayarak bu süreçte genel olarak tümdengelim ve geri çıkarım muhakeme türlerini seçme ve kullanma eylemlerini gerçekleştirmişlerdir. Diğer taraftan matematiksel bir iddiayı kanıtlarken ortaokul öğrencilerinin kanıt olarak ele alınamayan argümanları da söz konusu olmuştur. Bu argümanlar deneysel, sezgisel ve mantıklı olmayan gerekçeler şeklinde ele alınmıştır. Tüm sınıf ve başarı düzeyinden öğrencilerin doğrulama ve açıklama yaparken öncelikle ağırlıklı olarak örnek verme ya da deneme/yanılma yoluna gittikleri, yanı sıra genel olarak düşük ve orta başarı düzeyinden bazı öğrencilerin de doğrulama yaparken hatalı yol izledikleri görülmüştür. Özellikle tüm sınıf düzeylerinde düşük başarı düzeyine sahip öğrenciler kanıtlama yaparken mantıklı olmayan gerekçeler sunmuşlar ve bu süreçte hatalı ya da bir otoriteyi referans göstererek gerekçelerini savunmaya çalışmışlardır. Diğer taraftan ortaokul matematik öğretmenlerinin verilen matematiksel bir ifadeyi doğrularken öğrencileri ile benzer düşünme yapılarına sahip oldukları gözlenmiştir. Öğretmenler bu süreçte örüntü tanımlama, iki değişken arasındaki ilişkiyi arama ve varsayımda bulunma şeklinde eylemler gerçekleştirmişlerdir. Verilen tüm matematiksel ifadeleri genelleme sürecinde her iki öğretmen tümdengelim bir yaklaşımla cebirsel olarak matematiksel varsayımlarda bulunmuşlardır. Matematiksel bir ifadeyi kanıtlama sürecinde ise doğrulama, açıklama ve soyutlama olmak üzere üç eylem ge

Keywords: Matematik eğitimi, genelleme, varsayımda bulunma, muhakeme ve kanıt.