Crossed Cat1-Modules

Abstract

It is well known that crossed modules over groups are an algebraic model of homotopy 2-type connected spaces. Moreover, cat1-groups and internal categories in the category of groups, i.e. 2-groups or group-groupoids, are categorically equivalent to crossed modules over groups. In this study, as a new algebraic model of homotopy 3-type connected spaces, the algebraic structure of the crossed module on the category of cat1-groups, i.e. the crossed cat1-module, is characterized and some of its properties are studied. It is also shown that crossed cat1-modules are categorically equivalent to crossed squares over groups and hence to cat2-groups.

Özet

Gruplar üzerindeki çaprazlanmış modüllerin homotopi 2-tipten bağlantılı uzayların bir cebirsel modeli olduğu iyi bilinen bir gerçektir. Ayrıca cat1-gruplar ve grupların kategorisindeki iç kategoriler, diğer bir ifadeyle 2-gruplar veya grup-grupoidler, kategoriksel olarak gruplar üzerindeki çaprazlanmış modüllere denktirler. Bu çalışmada, homotopi 3-tipten bağlantılı uzayların yeni bir cebirsel modeli olarak cat1-grupların kategorisindeki çaprazlanmış modül, yani çaprazlanmış cat1-modül, cebirsel yapısı karakterize edilip bazı özellikleri incelenmiştir. Ayrıca çaprazlanmış cat1-modüllerin kategoriksel olarak gruplar üzerindeki çaprazlanmış karelere ve böylece cat2-gruplara denk oldukları gösterilmiştir.