AI Summary & Key Takeaways
AI InsightObviously, this requires rather strong cooperation between the scientist and the mathematician.
📌 3 Key Takeaways
Abstract
The modern axiomatic approach was developed by David Hilbert, the prominent German mathematician of the last century, who first applied it to geometry and then to physics. His concept evolved over time, exhibiting considerable differences between its application in mathematics and in physics. Motivated by his deep interest in demonstrating the consistency of mathematics, Hilbert decided on pursuing the so-called “formalist axiomatic approach” for that field. However, realizing that this strict interpretation would not do for use in physics, Hilbert came up with a more relaxed scheme for the latter, which was later termed the “soft axiomatic approach.” Hilbert had an enormous influence on the scientific community, and his axiomatic approach was adopted widely throughout the mathematics community. This was notably due to Nicholas Bourbaki’s work, which drew the attention of researchers involved in physics and other sciences, including economics. Economists learned of the axiomatic method through the publications of three distinguished scientists: John von Neumann, Gerard Debreu, and Kenneth J. Arrow. Following Bourbaki’s formal axiomatic approach, Debreu aimed to formalize Walrasian general equilibrium theory and proved its consistency. Von Neumann and Arrow, on the other hand, used the same approach to develop completely new fields of research, i.e., game theory and social choice theory, respectively. Despite the similarity of their applications of the axiomatic method to economics, von Neumann distinguishes himself from both Debreu and Arrow with his criticism of the axiomatic approach’s use in science in general. Despite never having explicitly referred to economics, he warned of the vulnerability of the formalist axiomatic approach to capture by what he called the “aesthetics of mathematics.” Von Neumann’s solution was to introduce an explicit and effective trade-off between the strict formalism of the mathematical reasoning and the requirements of the scientific field of research. Obviously, this requires rather strong cooperation between the scientist and the mathematician.
Özet
Modern belitsel yaklaşım David Hilbert tarafından geliştirilmiştir. Hilbert bu yaklaşımı önce geometriye sonra fiziğe uygulamıştır. Hilbert’in belitsel yaklaşım anlayışı zaman içinde everilmiş ve matematik ve fizik alanlarındaki çalışmaları arasında önemli farklılıklar göstermiştir. Hilbert’in matematiğin tutarlılığını göstermek konusundaki derin ilgisi onu “biçimsel belitsel yaklaşıma” dayanmaya yönlendirmiştir. Buna karşılık Hilbert belitsel yaklaşımın fizikte katı bir biçimde uygulanamayacağını görmüş, fizikte ve daha sonra “esnek belitsel yaklaşım” olarak adlandırılan daha gevsek bir yaklaşımı izlemiştir. Hilbert bilim dünyası üzerinde çok büyük bir etki yapmıştı. Onun geliştirdiği belitsel yaklaşım, özellikle Bourbaki’nin çalışmalarının katkısıyla, matematikte yaygın olarak kullanılmış, fizik ve iktisat dahil diğer bilim alanlarındaki araştırmacıların dikkatini çekmiştir. Belitsel yaklaşım iktisada üç değerli bilim insanının çalışmaları yoluyla kazandırılmıştır. Bunlar John von Neumann, Gerard Debreu ve Kenneth J. Arrow’dur. Gerard Debreu, Bourbaki’nin biçimsel belitsel yaklaşımını izleyerek Walras’gil genel denge kuramının biçimselleştirilmesi üzerinde çalışmış ve tutarlılığını göstermiştir. Von Neumann ve Arrow ise aynı yaklaşımı tamamen yeni iki araştırma alanını, sırasıyla oyun kuramı ve toplumsal tercih kuramı, geliştirmek için kullanmışlardır. Belitsel yaklaşımı iktisatta kullanmalarının benzerliğine rağmen, von Neumann, bu yaklaşımın genelde bilim alanında kullanılmasına yönelttiği eleştirileriyle, Debreu ve Arrow’dan farklı konumda görülebilir. Von Neumann, iktisada belirtik biçimde gönderme yapmamakla birlikte, hem fizik alanında yaptığı çalışmalarda hem de yöntem konusundaki görüşlerinde, biçimsel belitsel yaklaşımın “matematiğin estetiğine” kapılma tehlikesine açık olduğu uyarısını yapmıştır. Von Neumann’ın bu konudaki çözümü matematiğin katı biçimselciliği ile bilimsel araştırma alanının gereksinimleri arasında belirtik ve etkin bir ödünleşim kurulmasıdır. Bunun bilim insanı ile matematikçi arasında güçlü bir işbirliği gerektirdiği açıktır.