AI Summary & Key Takeaways
AI InsightThese variational principles were generalized to the $lambda$-nonlinear eigenvalue problems of the form $L(lambda)x = 0$ by many authors, where the Rayleigh quotient of a linear problem Ax = $lambda x$ was replaced by the so-called Rayleigh functional p, which is a homogeneous, real-valued, nonlinear functional defined by the equation (L(p(x))x, x) = 0 for $xneq 0$ There are two cases in the variational theory of $lambda$-nonlinear spectral problems: A) The Rayleigh functional p(x) is defined on the entire space $H backslash{0}$ and the conditions a) $L(alpha)>> 0, L(beta)
📌 3 Key Takeaways
Abstract
In this paper Riesz basis and eigenvalue problems for some classes of one and two parameter operator pencils are considered. Spectral problems for operator pencils arise naturally from differential equations and boundary value problems, operator matrices, evolution equations, controllable systems and equations depending on one or more parameters. One part of the problems studied here are variational problems for real eigenvalues for nonover-damped type operator pencils. It is well known that discrete eigenvalues of a self-adjoint operator A on a Hilbert space H which lie below or above the limit spectrum (or essential spectrum) of A can be characterized by variational principlesapplied totheRayleighquotients p(x) = (Ax, x) /(x, x), $xin H$, $xneq 0$. These variational principles were generalized to the $lambda$-nonlinear eigenvalue problems of the form $L(lambda)x = 0$ by many authors, where the Rayleigh quotient of a linear problem Ax = $lambda x$ was replaced by the so-called Rayleigh functional p, which is a homogeneous, real-valued, nonlinear functional defined by the equation (L(p(x))x, x) = 0 for $xneq 0$ There are two cases in the variational theory of $lambda$-nonlinear spectral problems: A) The Rayleigh functional p(x) is defined on the entire space $H backslash{0}$ and the conditions a) $L(alpha)>> 0, L(beta)
Özet
Bu çalışmada bir ve iki parametreli kendine eş operatör fonksiyonların bazı sınıfları için Riesz bazı ve özdeğer problemleri ele alınmıştır. İlk olarak iki parametreli sınırsız dalga tipi operatör polinomların spektral yapısı incelenmiştir. Bu operatör polinomlar aşırı sönümlü olmayan operatör fonksiyonların ana sınıflarından birini oluşturur. Burada bir parametre sabit tutulduğu zaman spektrumun ayrık olması ile ilgili teoremler verilmiştir. Kök bölgelerinin bazı kısımlarında reel öz-değerler için varyasönel formüller belirlenmiştir. Bu, operatör polinomlar sınırlı biçime dönüştürülmeden yapılmıştır. Sözü edilen sınıf için sayısal bölge ve kök bölgelerinin yapısını incelemek amacıyla daha genel kendine eş operatör fonksiyonları da kapsayan bir model oluşturulmuştur. Bu model çerçevesinde kök bölgelerinin bazı kısımlarında köklerin ve özdeğerlerin dağılımı ile ilgili teoremler ispatlanmış ve kök bölgelerinin bazı bağlantılı kısımları belirlenmiştir. Dalga tipi operatör fonksiyonların bir çoğunda sağlanan bazı doğal ek koşullar altında kök bölgelerinin üst üste bindiği gösterilmiştir. Son olarak kendine eş sürekli operatör fonksiyonlar için Riesz bazı problemleri ele alınmıştır. Bazı koşullar altında, yoğun bir alt sınıf için özvektörlerin Riesz bazı oluşturduklarını gösteren bir teorem verilmiştir. Genelde bu konu ile ilgili çalışmalarda faktör izasyon yöntemi kullanılmaktadır. Bu çalışmada is Riesz bazı ile ilgili problemleri çözmek için spektral dağılım fonksiyonlarına dayalı tamamen farklı bir teknik kullanılmıştır.