AI Summary & Key Takeaways
AI InsightWe show that if f:{X,A) —> (Y,B) is a continuous mapping, then there exists a sheaf homomorphism between the sheaves of relative homotopy groups of the pairs (X, A) and (Y,B), Furthermore, if f is a homeomorphism, then there exists a group isomorphism between the groups of sections.
📌 3 Key Takeaways
Abstract
Let X be a topological space and A be a connected, locally path connected, and semilocally simple connected subspace of X. Let $S_n(X,A)$ be the disjoint union of the n-th homotopy groups of the pair (X,A) obtained for each $X in A$ , i.e., $S_n(X,A)$ = $stackrel {V}{x in A} pi_n(X,A,x)$. We show that $S_n(X,A)$ is an algebraic sheaf over the pair (X,A) by giving a topological structure to the set$S_n(X,A)$. We show that if f:{X,A) —> (Y,B) is a continuous mapping, then there exists a sheaf homomorphism between the sheaves of relative homotopy groups of the pairs (X, A) and (Y,B), Furthermore, if f is a homeomorphism, then there exists a group isomorphism between the groups of sections.
Özet
X bir topolojik uzay ve A, X' in irtibatlı, lokal eğrisel irtibatlı ve yarı lokal basit irtibatlı bir altuzayı olsun. $S_n(X,A)$, (X,A) çiftinin herbir $X in A$ ,için bulunan n. homotopi gruplarının ayrık birleşimi olsun, yani, $S_n(X,A)$ = $stackrel {V}{x in A} pi_n(X,A,x)$ dır. Bu çalışmada $S_n(X,A)$ üzerine bir topolojik yapı vererek (X,A) çifti üzerinde bir cebirsel demet olduğunu gösterdik. Eğer f:(X, A) —> (Y, B) bir sürekli dönüşüm ise, bu durumda {X,A) ve (Y,B) çiftleri üzerindeki rölatif homotopi gruplarının demetleri arasında bir demet homomorfizminin varlığını gösterdik. Ayrıca eğer f bir homeomorfizm ise, bu durumda kesitlerin grupları arasında bir grup izomorfizminin varlığını gösterdik.