AI Summary & Key Takeaways
AI InsightEquivalence of c) and d) implies classical Cohen's Theorem while equivalence of d) and e) implies Eakin-Nagata-Formanek Theorem.
📌 3 Key Takeaways
Abstract
The purpose of this work is to show that the classical Cohen's Theorem and Eakin-Nagata-Formanek Theorem are parts of one single theorem on modules. Here is the theorem: Theorem. For a module M over a commutative ring R with identity, the following statements are equivalent: a) M J is finitely generated for each ideal J of R. b) M P is finitely generated for each prime ideal P of R. c) Every prime submodule of M is finitely generated. d) M is Noetherian. e) M satisfies the maximum condition on extended submodules. f) M satisfies the ascending chain condition on extended submodules. Equivalence of c) and d) implies classical Cohen's Theorem while equivalence of d) and e) implies Eakin-Nagata-Formanek Theorem.
Özet
Bu çalışmanın amacı, klasik olarak Cohen Teoremi ve Eakin-Nagata-Formanek Teoremi olarak bilinen teoremlerin bir tek teoremin parçaları olduğunu sergilemektir. Söz konusu teoremlerin modüllere bir genellemesi olan bu teorem şöyle ifade edilebilir: Teorem. Birimli değişmeli bir R halkası üzerinde bir M modülü (sağ modül) için aşağıdaki önermeler denktir: a) R nin her ideali J için M J sonlu üretilmiştir. b )R nin her asal ideali P için M P sonlu üretilmiştir. c) M nin her asal altmodülü sonlu üretilmiştir. d) M Noetheryendir. e) M ,genişletilmiş altmodülleri üzerinde maksimum koşulunu sağlar. f) M , genişletilmiş altmodülleri üzerinde artan zincir koşulunu sağlar. Bu önermelerden c) ve d) nin denkliği klasik Cohen Teoremini, e) ve d ) nin denkliği ise Eakin-Nagata-Formanek .Teoremini verir.