AI Summary & Key Takeaways
AI InsightIn this work, we have shown that some polytopes (hexahedron, octahedron, icosahedron) must be regular and ideal for maximality of their volumes.
📌 3 Key Takeaways
Abstract
The Lobachevsky function, frequently used in calculation of volume in 3-dimensional hyperbolic space, is denned by JI :Bbb{R}rightarrowBbb{R} $JI(theta)=-int_0^theta log|2 sin x|dx$ It is known since Lobachevsky that the tetrahedron which has maximal volume among all tetrahedra is regular and ideal tetrahedron and its volume is $3JI (frac{pi}{3})$. (Milnor, 1982; Ratcliffe, 1994). The volumes of regular, ideal hexahedron, octahedron; dodecahedron and icosahedron are calculated in (Deniz, 2001). In this work, we have shown that some polytopes (hexahedron, octahedron, icosahedron) must be regular and ideal for maximality of their volumes.
Özet
3-boyutlu hiperbolik uzayda, hacim hesabında sıkça kullanılan Lobachevsky fonksiyonu $JI :Bbb {R} rightarrow Bbb {R}}$ $JI(theta)=-int_0^theta log|2 sin x|dx$ şeklinde tanımlanır. Hiperbolik uzayda düzgün, ideal dörtyüzlünün hacminin $3JI (frac{pi}{3})$ olduğu ve tüm hiperbolik dörtyüzlüler arasında maksimum hacimli dörtyüzlünün düzgün, ideal dörtyüzlü olduğu Lobachevsky'den beri bilinmektedir. (Milnor, 1982; Ratcliffe, 1994). İdeal düzgün altıyüzlü, sekizyüzlü ve yirmiyüzlünün hacimleri (Deniz, 2001)'de hesaplanmıştır. Bu çalışmada bazı hiperbolik çokyüzlülerin (altıyüzlü, sekizyüzlü, yirmiyüzlü) hacimlerinin maksimum olabilmesi için düzgün ve ideal olmaları gerektiği gösterilmiştir.