AI Summary & Key Takeaways
AI InsightFinally we supply an example showing that a module that has the property (δ-SE) may not have the property (δ-SSE).
📌 3 Key Takeaways
Abstract
In this paper, as a generalization of injective modules, we define two different modules: modules that have the property (δ-SE) and modules that have the property (δ-SSE), and we investigate basic properties of them. Namely, modules that have a δ-supplement that is a direct summand in its every extension and modules that have a strong δ-supplement in its every extension are tackled here. Particularly, it is proved that a ring whose modules have the property (δ-SE) is δ-semiperfect. Let R be a ring, M be an R-module with IM=0 for an ideal of R. It is shown that if the R-module M has the property (δ-SE), then so does ¯R-module M, under a special condition, where ¯R=R/I. Finally we supply an example showing that a module that has the property (δ-SE) may not have the property (δ-SSE).
Özet
Bu çalışmada, injektif modüllerin yeni bir genelleştirmesi olarak iki farklı modül tanımlanmakta ve bunların temel özellikleri incelenmektedir. Bunlardan birincisi (δ-SE) özelliğine sahip modüller, yani her genişlemesinde direkt toplam terimi olacak şekilde bir δ-tümleyene sahip olan modüller; ikincisi ise (δ-SSE) özelliğine sahip modüller, yani her genişlemesinde güçlü δ-tümleyene sahip olan modüllerdir. Özel olarak, tüm modülleri (δ-SE) özelliğine sahip olan halkaların δ-yarı mükemmel olduğu ispatlanmıştır. Ayrıca R bir halka, M bir R-modül ve R nin IM=0 koşulunu sağlayan I ideali için ¯R=R/I olmak üzere, özel bir şart altında R-modül olarak (δ-SE) özelliğine sahip M modülünün ¯R-modül olarak da (δ-SE) özelliğine sahip olduğu gösterilmiştir. Çalışmanın sonunda (δ-SE) özelliğine sahip fakat (δ-SSE) özelliğine sahip omayan modüle bir örnek verilmiştir.