The kadomtsev-petviashvili (kp) equation as an example of invariant equations

We will consider two scalar differential operators L and M. We call them scalar because their coefficients are functions rather than matrices. Our aim is to obtain some gauge invariant equations. In order to achieve this goal we firstly find the gauge invariants of L and M by using the gauge transformation on L and M. And then by using the Lax equation, [L,M] = 0, we have some differential equations in the invariant forms. After that we derive The Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation as an example.

KP equation ,

Equation ,

Invariant Equations ,

ve M’yi iki skaler diferansiyel operatör olarak gözönüne alalım. Burada L ve M skaler operatörlerdir, çünkü bu operatörlerin katsayıları matrisler değil fonksiyonlardır. Bizim amacımız ’gauge invariant’ denklemlerini elde etmektir. Bu amaca ulaşmak için ilk önce L ve M üzerinde ’gauge transformasyon’ kullanarak L ve M nin ’gauge invariant’ larını bulacağız. Daha sonra Lax denklemini, [L,M] = 0, kullanarak invariant form’da bazı diferansiyel denklemler elde edeceğiz. Burada Kadomtsev-Petviashvili (KP) denklemi bir örnek olarak karşımıza çıkacaktır.

,